Lập trình logic vị từ: Hướng dẫn đầy đủ và các ví dụ

Logic vị từ là một nhánh mạnh mẽ của logic toán học cho phép chúng ta biểu diễn các câu phức tạp và suy luận về chúng. Nó cung cấp một khuôn khổ để phân tích và lý luận về các mệnh đề, đối tượng và mối quan hệ giữa chúng. Trong hướng dẫn này, chúng ta sẽ đi sâu vào các khái niệm cơ bản của logic vị từ, khám phá cú pháp, ngữ nghĩa và các quy tắc suy luận của nó. Bằng cách hiểu được các nguyên tắc này, bạn sẽ có thể xây dựng các biểu diễn logic chính xác và tham gia vào các lập luận có cơ sở.

Định nghĩa và các khái niệm cơ bản

Logic vị từ, còn được gọi là logic bậc nhất, là một hệ thống chính thức được sử dụng để biểu diễn kiến ​​thức và lý luận. Nó cung cấp một cách để biểu diễn các đối tượng, thuộc tính và mối quan hệ giữa chúng. Không giống như logic mệnh đề, chỉ xử lý các mệnh đề đơn giản, logic vị từ cho phép chúng ta định lượng các đối tượng và khẳng định các mệnh đề về chúng. Điều này làm cho nó biểu cảm hơn nhiều và phù hợp để mô hình hóa các tình huống thế giới thực phức tạp.

Các khái niệm chính trong logic vị từ bao gồm:

• Các vị từ: Các vị từ là các biểu thức biểu thị các thuộc tính hoặc mối quan hệ của các đối tượng. Chúng lấy một hoặc nhiều đối tượng làm đầu vào và trả về giá trị chân lý (true hoặc false). Ví dụ: IsChild(x) có thể biểu thị rằng đối tượng x là một đứa trẻ.
• Các đối tượng: Các đối tượng là các cá thể hoặc thực thể mà chúng ta muốn thể hiện. Chúng có thể là các hằng số (ví dụ: john, candy) hoặc các biến biểu thị các đối tượng chưa xác định (ví dụ: x, y).
• Các biến: Các biến là các ký hiệu giữ chỗ cho các đối tượng có thể thay đổi. Chúng cho phép chúng ta tạo các mệnh đề chung có thể áp dụng cho một phạm vi các đối tượng.
• Hàm: Các hàm ánh xạ các đối tượng đến các đối tượng khác. Chúng được sử dụng để biểu diễn các mối quan hệ hoặc phép biến đổi phức tạp hơn. Ví dụ: motherOf(x) có thể biểu thị người mẹ của đối tượng x.

• Các lượng từ: Các lượng từ là các ký hiệu cho phép chúng ta diễn đạt các khẳng định về số lượng đối tượng trong một miền. Hai lượng từ chính là:

  • Lượng từ phổ quát (∀): Lượng từ này biểu thị rằng một mệnh đề đúng cho tất cả các đối tượng trong một miền. Ví dụ: ∀x. IsChild(x) → LovesCandy(x) có nghĩa là mọi đứa trẻ đều thích kẹo.
  • Lượng từ hiện sinh (∃): Lượng từ này biểu thị rằng một mệnh đề đúng cho ít nhất một đối tượng trong một miền. Ví dụ: ∃x. IsChild(x) ∧ LovesCandy(x) có nghĩa là có ít nhất một đứa trẻ thích kẹo.

  Bằng cách kết hợp các thành phần này, chúng ta có thể xây dựng các biểu diễn logic phức tạp nắm bắt được các khía cạnh khác nhau của miền mà chúng ta đang mô hình hóa.

Cú pháp và Ngữ nghĩa

Để biểu diễn kiến ​​thức bằng logic vị từ, chúng ta cần tuân theo một cú pháp chính thức. Cú pháp chỉ định cách xây dựng các công thức được hình thành tốt (WFF), là các biểu thức hợp lệ về mặt cú pháp trong logic vị từ. Các WFF được xây dựng bằng cách sử dụng các ký hiệu sau:

• Các hằng số vị từ: Các ký hiệu biểu thị các thuộc tính hoặc mối quan hệ.
• Các hằng số đối tượng: Các ký hiệu biểu thị các đối tượng cụ thể.
• Các biến: Các ký hiệu biểu thị các đối tượng có thể thay đổi.
• Các hàm: Các ký hiệu ánh xạ các đối tượng đến các đối tượng khác.
• Các lượng từ: Các ký hiệu biểu thị số lượng (∀ và ∃).
• Các kết nối logic: Các ký hiệu kết hợp các WFF (¬, ∧, ∨, →, ↔).

• Các dấu ngoặc đơn: Các ký hiệu nhóm các WFF.

  Ngữ nghĩa của logic vị từ xác định ý nghĩa của các WFF. Nó liên quan đến việc gán các giá trị chân lý (true hoặc false) cho các vị từ và đối tượng. Bản dịch là một hàm ánh xạ các hằng số đối tượng đến các đối tượng trong miền, các hằng số vị từ đến các quan hệ và các hàm đến các hàm. Giá trị chân lý của một WFF được xác định đệ quy dựa trên các giá trị chân lý của các thành phần của nó.

  Ví dụ: hãy xem xét WFF sau:

  ∀x. Human(x) → Mortal(x)

  Để đánh giá giá trị chân lý của WFF này, chúng ta cần xác định một bản dịch. Bản dịch chỉ định miền các đối tượng, quan hệ tương ứng với vị từ Human và Mortal, và giá trị của biến x. Giả sử miền bao gồm tất cả con người, Human(x) là true nếu x là người và Mortal(x) là true nếu x có thể chết. Sau đó, WFF này là true nếu mọi người trong miền có thể chết.

  Logic vị từ cũng hỗ trợ khái niệm biến tự do và biến giới hạn. Một biến là tự do nếu nó không nằm trong phạm vi của bất kỳ lượng từ nào. Ngược lại, một biến là giới hạn nếu nó nằm trong phạm vi của một lượng từ. Giá trị của một biến tự do được xác định bởi một bản dịch, trong khi giá trị của một biến giới hạn được xác định bởi lượng từ.

  Ví dụ: hãy xem xét WFF sau:

  ∀x. ∃y. Loves(x, y)

  Trong WFF này, biến x là giới hạn bởi lượng từ ∀ và biến y là giới hạn bởi lượng từ ∃. WFF có nghĩa là mọi người đều yêu ai đó. Giá trị của biến x được xác định bởi lượng từ ∀, trong khi giá trị của biến y được xác định bởi lượng từ ∃.

Quy tắc suy luận trong logic vị từ

Các quy tắc suy luận là các quy tắc được sử dụng để suy ra các kết luận hợp lệ từ các tiền đề đã cho. Trong logic vị từ, một số quy tắc suy luận được sử dụng phổ biến nhất bao gồm:

• Modus Ponens: Quy tắc này nói rằng nếu chúng ta có một WFF dạng P → Q và một WFF dạng P, thì chúng ta có thể suy ra WFF Q. Ví dụ: nếu chúng ta biết rằng "Nếu trời mưa, thì mặt đường sẽ ướt" và chúng ta biết rằng "Trời đang mưa", thì chúng ta có thể suy ra rằng "Mặt đường đang ướt".
• Modus Tollens: Quy tắc này nói rằng nếu chúng ta có một WFF dạng P → Q và một WFF dạng ¬Q, thì chúng ta có thể suy ra WFF ¬P. Ví dụ: nếu chúng ta biết rằng "Nếu trời mưa, thì mặt đường sẽ ướt" và chúng ta biết rằng "Mặt đường không ướt", thì chúng ta có thể suy ra rằng "Trời không mưa".
• Universal Instantiation: Quy tắc này nói rằng nếu chúng ta có một WFF dạng ∀x. P(x), thì chúng ta có thể suy ra WFF P(c) cho bất kỳ hằng số đối tượng c nào. Ví dụ: nếu chúng ta biết rằng "Mọi người đều có thể chết", thì chúng ta có thể suy ra rằng "Socrates có thể chết".
• Existential Generalization: Quy tắc này nói rằng nếu chúng ta có một WFF dạng P(c) cho một số hằng số đối tượng c, thì chúng ta có thể suy ra WFF ∃x. P(x). Ví dụ: nếu chúng ta biết rằng "Socrates là một người đàn ông", thì chúng ta có thể suy ra rằng "Có một người là một người đàn ông".
• And Introduction: Quy tắc này nói rằng nếu chúng ta có hai WFF P và Q, thì chúng ta có thể suy ra WFF P ∧ Q. Ví dụ: nếu chúng ta biết rằng "Trời đang mưa" và chúng ta biết rằng "Gió đang thổi", thì chúng ta có thể suy ra rằng "Trời đang mưa và gió đang thổi".

• And Elimination: Quy tắc này nói rằng nếu chúng ta có một WFF dạng P ∧ Q, thì chúng ta có thể suy ra WFF P và WFF Q. Ví dụ: nếu chúng ta biết rằng "Trời đang mưa và gió đang thổi", thì chúng ta có thể suy ra rằng "Trời đang mưa" và "Gió đang thổi".

  Bằng cách sử dụng các quy tắc suy luận này, chúng ta có thể suy ra các kết luận mới từ các tiền đề đã cho. Quá trình này được gọi là chứng minh. Một chứng minh là một chuỗi các WFF, trong đó mỗi WFF là một tiền đề, một kết luận từ các WFF trước đó bằng cách sử dụng một quy tắc suy luận, hoặc một tiên đề (một WFF được cho là đúng). WFF cuối cùng trong chuỗi là kết luận của chứng minh.

  Ví dụ: hãy xem xét các tiền đề sau:

  ∀x. Human(x) → Mortal(x)
  Human(Socrates)

  Bằng cách sử dụng quy tắc suy luận Universal Instantiation, chúng ta có thể suy ra WFF sau:

  Human(Socrates) → Mortal(Socrates)

  Sau đó, bằng cách sử dụng quy tắc suy luận Modus Ponens, chúng ta có thể suy ra WFF sau:

  Mortal(Socrates)

  Điều này chứng minh rằng Socrates có thể chết.

Ví dụ 1: Mọi đứa trẻ đều thích kẹo

Để biểu diễn câu "Mọi đứa trẻ đều thích kẹo" trong logic vị từ, chúng ta có thể sử dụng các ký hiệu sau:

• Child(x): x là một đứa trẻ
• Candy(y): y là một viên kẹo

• Loves(x, y): x thích y

  Sử dụng các ký hiệu này, chúng ta có thể biểu diễn câu "Mọi đứa trẻ đều thích mọi viên kẹo" như sau:

  ∀x. (Child(x) → (∀y. (Candy(y) → Loves(x, y))))

  Giải thích từng bước:

  1. ∀x: Điều này biểu thị "Đối với tất cả x". Trong ngữ cảnh này, nó có nghĩa là mệnh đề còn lại sẽ đúng cho mọi x.
  2. Child(x) → (...): Điều này có nghĩa là "nếu x là một đứa trẻ, thì mệnh đề trong dấu ngoặc đơn là đúng". Điều này thiết lập một hàm ý; mệnh đề sau chỉ áp dụng nếu x thực sự là một đứa trẻ.
  3. ∀y: Điều này biểu thị "Đối với tất cả y". Vì vậy, bây giờ chúng ta đang nói rằng đối với mọi đứa trẻ x, mệnh đề còn lại sẽ đúng cho mọi y.
  4. Candy(y) → Loves(x, y): Điều này có nghĩa là "nếu y là một viên kẹo, thì x thích y". Vì vậy, đối với mọi đứa trẻ x, nếu y là một viên kẹo, thì đứa trẻ đó thích viên kẹo đó.

  Toàn bộ công thức ∀x. (Child(x) → (∀y. (Candy(y) → Loves(x, y)))) biểu thị rằng đối với tất cả x (mọi người), nếu x là một đứa trẻ, thì đối với tất cả y (mọi thứ), nếu y là một viên kẹo, thì x thích y. Về cơ bản, tất cả trẻ em đều thích tất cả các loại kẹo.

Ví dụ 2: Bất kỳ ai thích kẹo đều không phải là người cuồng dinh dưỡng

Để biểu diễn câu "Bất kỳ ai thích kẹo đều không phải là người cuồng dinh dưỡng" trong logic vị từ, chúng ta có thể sử dụng các ký hiệu sau:

• Person(x): x là một người
• Candy(y): y là một viên kẹo
• Loves(x, y): x thích y

• NutritionFanatic(x): x là một người cuồng dinh dưỡng

  Sử dụng các ký hiệu này, chúng ta có thể biểu diễn câu "Bất kỳ ai thích kẹo đều không phải là người cuồng dinh dưỡng" như sau:

  ∀x. (Person(x) → (∃y. (Candy(y) ∧ Loves(x, y)) → ¬NutritionFanatic(x)))

  Giải thích từng bước:

  1. ∀x: Điều này biểu thị "Đối với tất cả x", có nghĩa là mệnh đề còn lại sẽ đúng cho mọi x.
  2. Person(x) → (...): Điều này có nghĩa là "nếu x là một người, thì mệnh đề trong dấu ngoặc đơn là đúng". Hàm ý này đảm bảo rằng mệnh đề chỉ áp dụng cho những cá nhân.
  3. ∃y: Điều này biểu thị "Có ít nhất một y", cho thấy rằng chúng ta đang nói về sự tồn tại của một viên kẹo cụ thể.
  4. Candy(y) ∧ Loves(x, y): Điều này có nghĩa là "y là một viên kẹo và x thích y". Nó biểu thị rằng có một viên kẹo y mà người x thích.
  5. (...) → ¬NutritionFanatic(x): Điều này có nghĩa là "nếu mệnh đề trước đó là đúng (tức là x thích ít nhất một viên kẹo), thì x không phải là người cuồng dinh dưỡng". Ký hiệu ¬ biểu thị phủ định.

  Toàn bộ công thức ∀x. (Person(x) → (∃y. (Candy(y) ∧ Loves(x, y)) → ¬NutritionFanatic(x))) biểu thị rằng đối với tất cả x (mọi người), nếu x là một người, thì nếu có một viên kẹo y mà x thích, thì x không phải là người cuồng dinh dưỡng. Về cơ bản, nếu có một người thích ít nhất một viên kẹo, thì người đó không thể là một người cuồng dinh dưỡng.

Ví dụ 3: Bất kỳ ai ăn bí ngô đều là người cuồng dinh dưỡng

Để biểu diễn câu "Bất kỳ ai ăn bí ngô đều là người cuồng dinh dưỡng" trong logic vị từ, chúng ta có thể sử dụng các ký hiệu sau:

• Person(x): x là một người
• Pumpkin(y): y là một quả bí ngô
• Eats(x, y): x ăn y

• NutritionFanatic(x): x là một người cuồng dinh dưỡng

  Sử dụng các ký hiệu này, chúng ta có thể biểu diễn câu "Bất kỳ ai ăn bí ngô đều là người cuồng dinh dưỡng" như sau:

  ∀x. (Person(x) → (∃y. (Pumpkin(y) ∧ Eats(x, y)) → NutritionFanatic(x)))

  Giải thích từng bước:

  1. ∀x: Điều này biểu thị "Đối với tất cả x", có nghĩa là mệnh đề còn lại sẽ đúng cho mọi x.
  2. Person(x) → (...): Điều này có nghĩa là "nếu x là một người, thì mệnh đề trong dấu ngoặc đơn là đúng". Hàm ý này đảm bảo rằng mệnh đề chỉ áp dụng cho những cá nhân.
  3. ∃y: Điều này biểu thị "Có ít nhất một y", cho thấy rằng chúng ta đang nói về sự tồn tại của một quả bí ngô cụ thể.
  4. Pumpkin(y) ∧ Eats(x, y): Điều này có nghĩa là "y là một quả bí ngô và x ăn y". Nó biểu thị rằng có một quả bí ngô y mà người x ăn.
  5. (...) → NutritionFanatic(x): Điều này có nghĩa là "nếu mệnh đề trước đó là đúng (tức là x ăn ít nhất một quả bí ngô), thì x là một người cuồng dinh dưỡng".

  Toàn bộ công thức ∀x. (Person(x) → (∃y. (Pumpkin(y) ∧ Eats(x, y)) → NutritionFanatic(x))) biểu thị rằng đối với tất cả x (mọi người), nếu x là một người, thì nếu có một quả bí ngô y mà x ăn, thì x là một người cuồng dinh dưỡng. Về cơ bản, nếu một người ăn ít nhất một quả bí ngô, thì người đó phải là một người cuồng dinh dưỡng.

Ví dụ 4: Bất kỳ ai mua bí ngô thì hoặc thèm nó hoặc ăn nó

Để biểu diễn câu "Bất kỳ ai mua bí ngô thì hoặc thèm nó hoặc ăn nó" trong logic vị từ, chúng ta có thể sử dụng các ký hiệu sau:

• Person(x): x là một người
• Pumpkin(y): y là một quả bí ngô
• Buys(x, y): x mua y
• Craves(x, y): x thèm y

• Eats(x, y): x ăn y

  Sử dụng các ký hiệu này, chúng ta có thể biểu diễn câu "Bất kỳ ai mua bí ngô thì hoặc thèm nó hoặc ăn nó" như sau:

  ∀x. (Person(x) → (∃y. (Pumpkin(y) ∧ Buys(x, y)) → (Craves(x, y) ∨ Eats(x, y))))

  Giải thích từng bước:

  1. ∀x: Điều này biểu thị "Đối với tất cả x", có nghĩa là mệnh đề còn lại sẽ đúng cho mọi x.
  2. Person(x) → (...): Điều này có nghĩa là "nếu x là một người, thì mệnh đề trong dấu ngoặc đơn là đúng". Hàm ý này đảm bảo rằng mệnh đề chỉ áp dụng cho những cá nhân.
  3. ∃y: Điều này biểu thị "Có ít nhất một y", cho thấy rằng chúng ta đang nói về sự tồn tại của một quả bí ngô cụ thể.
  4. Pumpkin(y) ∧ Buys(x, y): Điều này có nghĩa là "y là một quả bí ngô và x mua y". Nó biểu thị rằng có một quả bí ngô y mà người x mua.
  5. (...) → (Craves(x, y) ∨ Eats(x, y)): Điều này có nghĩa là "nếu mệnh đề trước đó là đúng (tức là x mua ít nhất một quả bí ngô), thì x hoặc thèm y hoặc ăn y". Ký hiệu ∨ biểu thị phép nối, có nghĩa là ít nhất một trong hai mệnh đề phải đúng.

  Toàn bộ công thức ∀x. (Person(x) → (∃y. (Pumpkin(y) ∧ Buys(x, y)) → (Craves(x, y) ∨ Eats(x, y)))) biểu thị rằng đối với tất cả x (mọi người), nếu x là một người, thì nếu có một quả bí ngô y mà x mua, thì x hoặc thèm y hoặc ăn y. Về cơ bản, nếu một người mua ít nhất một quả bí ngô, thì người đó hoặc là thèm nó hoặc là ăn nó.