突破性代數計算 | 仿射幾何新觀點

突破性代數計算 | 仿射幾何新觀點

目錄

1. 👨‍🏫 導言
2. 👨‍🏫 平面幾何的形式化框架
   • 👨‍🏫 阿芬點和阿芬線
   • 👨‍🏫 線的平行性
   • 👨‍🏫 結合與相交
3. 👨‍🏫 向量：點的相對分離
   • 👨‍🏫 位移向量
   • 👨‍🏫 點與向量的和
   • 👨‍🏫 向量的比例
4. 👨‍🏫 點和向量的結合
   • 👨‍🏫 阿芬組合
   • 👨‍🏫 中點
5. 👨‍🏫 向量比例
   • 👨‍🏫 平行向量的比例
   • 👨‍🏫 向量比例的相等性
6. 👨‍🏫 平行線定理
   • 👨‍🏫 二個平行線的定理
   • 👨‍🏫 平行線的應用
7. 👨‍🏫 仿射相似三角形
   • 👨‍🏫 仿射相似三角形的定義
   • 👨‍🏫 相似三角形的應用
8. 👨‍🏫 梅特拉斯定理
   • 👨‍🏫 定理表述
   • 👨‍🏫 梅特拉斯定理的應用
9. 👨‍🏫 喬伊茲定理
   • 👨‍🏫 定理概述
   • 👨‍🏫 喬伊茲定理的應用
10. 👨‍🏫 結論
11. 👨‍🏫 常見問題與解答

導言

大家好，我是諾曼·沃爾伯格，歡迎來到代數微積分。在本視頻中，我們將更詳細地研究仿射幾何，並以一種新穎的方式介紹一些新概念。仿射幾何可能沒有歐幾里得幾何和射影幾何那麼被廣泛研究，但它與線性代數有著非常密切的關係，因此它的地位應該提高一些。讓我們從正式的仿射幾何框架開始，暫時將圖片、網格平面和物理直覺放在一邊，專注於代數的基礎，即主要對象的實際定義。

平面幾何的形式化框架

阿芬點和阿芬線

在阿芬幾何中，阿芬點是以方括號括起來的形式表達的，通常是兩個有理數，並且始終是有理數，例如 [a, b]。阿芬線的方程式則是 CX + dy = E，其中 CDE 和 E 都是有理數，但我們同意 C 和 D 這裡的係數不全為零，至少有一個不為零。

線的平行性

兩條線平行的條件是，斜率的比例相等，即 C:G = D:F。這意味著 CG - DF = 0。

結合與相交

如果有兩個不同的點，它們的結合就是它們的線，用它們的符號表示為 ab。如果有兩條線 L 和 M，它們的相交就是 L∩M，前提是這兩條線不平行。

向量：點的相對分離

位移向量

向量是點的相對位置的度量，正式地說，向量看起來幾乎像一個點，但用圓括號括起來，例如 (RS)。位移向量是特定類型的向量，如果有兩個點 A 和 B，其坐標分別為 (a, b) 和 (c, d)，那麼位移向量 AB 就是 (c-a, d-b)。

點與向量的和

如果 A 是點 a, b，V 是向量 RS，那麼我們定義點與向量的和 A + V 為 a + R, b + s。這裡的想法是，A 是一個絕對位置，V 是一個相對位置，所以這個新點是 A 和 V 在 x 和 y 方向上的係數之和。

向量的比例

兩個平行向量的比例是指它們之間的比例，例如 V:W，當且僅當 RW - Ps = 0 時，向量 `V