用Python和GPU在几秒钟内解决薛定谔方程

目录

1. 导言
2. Python中科学计算的主要库
3. 使用GPU进行科学计算
4. Python中的GPU优化
5. Python GPU系列的第二集：薛定谔方程
   • 5.1 旧的CPU代码和新的GPU优化代码对比
   • 5.2 在2D中求解薛定谔方程
   • 5.3 在3D中求解氢原子势
6. 使用Python GPU进行科学计算的结果比较
   • 6.1 CPU方法 vs. GPU方法
   • 6.2 2D薛定谔方程的结果比较
   • 6.3 3D氢原子势的结果比较
7. 结论
8. 参考资料

导言

如果你之前有使用Python编程的经验，那么你可能接触过一些主要的Python库，其中最重要的两个例子就是numpy和scipy。这些库在科学界被广泛使用，有很多重要的函数常常在科学研究中使用。然而，与我们即将介绍的内容相比，它们只是九牛一毛。有了合适的工具，你可以将一个由400个粒子组成的模拟转化为一个由一万个粒子组成的模拟，而不会增加额外的时间成本。当然，这需要充分利用计算机硬件，尤其是GPU，这是大多数人现在都可以使用的。欢迎来到Python GPU系列的第二集，今天我们要探索的是薛定谔方程。在这个系列的前一个视频中，我在CPU上编写了旧的代码，我们在右边可以看到旧的CPU代码，而在左边则是我新的经过GPU优化的代码。在这个视频中，我们将使用新的GPU方法来求解二维薛定谔方程，然后展示GPU方法的速度要快得多。然后，我们将进入三维，并求解氢原子势。当然，这个问题在理论上是可以解析求解的，因为任何量子力学的教科书都会讲解如何求解三维氢原子势。但我们将在这里使用数值方法来在计算机上求解。当然，优势在于我们可以定义特定的氢原子势。如果你对我的代码感兴趣，我会在GitHub上提供链接，你可以查看代码并添加不同的势函数，比如氦原子的势函数。然后，我们将在两种情况下导入代码，并以此展开。首先当然是在二维薛定谔方程中，我们要解决的是一个2D波函数。所以有x和y坐标，我们可以在两种情况下创建一个网格，我们将使用400个点，并对网格进行初始化。你可能对这些网格不熟悉，我在我的频道上有一个教程视频，在下面我会放一个链接。这两种情况下的代码是一样的，我们只是创建了一个x和y的网格。现在我们已经建立了我们要在二维薛定谔方程中求解的网格，当然在一般情况下，薛定谔方程是一个连续的方程，但是我们要对它进行离散化处理，所以我们将在这个网格上求解它。让我们非常仔细地说明一下当我们说求解薛定谔方程的本征态时，我们到底是指什么。任何薛定谔方程的本征态都满足下面的方程：H PSI = E PSI，我们必须谨慎定义这些术语，所以记住PSI是一个二维的波函数，所以你可能会想，二维的物体如何表示为一个向量，这里的想法是拿到这个二维的方块，也就是这个波函数的量子力学态，然后取第一行就得到了这个向量的第一个元素，然后取第二行，就是向量的第二个元素，所以你把所有的行都叠加到一个向量上，就得到了一个个依次相叠加的向量。也就是说，你把一个二维的阵列的值转换为一个一维的值，这在拥有10x10个点的二维网格中等于100个点。所以你可以这样做，但是你必须非常小心处理这里的二阶导数，这就是我将用到的找到符号。另一个我在这个方程中做的事情是，我乘以m和delta x的平方，所以在这个方程中，这个delta x是我实际使用的间距值，然后我把它变成二阶导数的时候，就变成了一个非常方便的方式。

Python中科学计算的主要库

如果你之前有使用Python编程的经验，那么你可能接触过一些主要的Python库。在科学计算领域，最重要的两个库是numpy和scipy。这些库提供了许多重要的函数，常常在科学研究中使用。然而，与我们即将介绍的内容相比，它们只是小巫见大巫。在正确的工具下，你可以将由400个粒子组成的模拟转化为由一万个粒子组成的模拟，而且不会增加额外的时间成本。当然，这需要充分利用计算机硬件，尤其是GPU，而大多数人现在都可以轻松访问。本文将介绍Python GPU系列的第二集内容，即薛定谔方程。在此之前，我已在右侧给出了旧的CPU代码，而在左侧是我新的针对GPU进行优化的代码。在此视频中，我们将首先使用这种新的GPU方法在二维空间中求解薛定谔方程，并展示出GPU方法的速度要快得多。然后我们将进入三维空间，并求解氢原子势。当然，从理论上讲，我们可以通过解析法来求解该问题，因为任何量子力学教科书都会介绍如何解析地求解三维氢原子势。但在这里，我们将使用计算机上的数值方法来求解。值得注意的是，在本文作者的研究中，也经常使用类似的方法。当然，这种方法非常适用于解决类似问题，比如在计算氢原子势时，可以通过自定义势函数来计算其他系统中的特性，比如两个质子之间的间距，以及在该状态下的本征态等。在这两种情况下，我都导入了代码，并按照所需的方式进行了初始化。当然，我们首先要解决的问题是在二维空间中求解薛定谔方程，我们要解决的是一个二维波函数，需要考虑x和y坐标。因此，在两种情况下，代码完全相同，我们只需创建x和y的网格即可。现在，我们已经建立了一个二维薛定谔方程的求解网格。薛定谔方程通常是一个连续的方程，但我们需要对其进行离散化处理，因此我们要在此网格上进行求解。因此，让我们非常仔细地说明一下我们所说的薛定谔方程的本征态是什么意思。任何薛定谔方程的本征态都满足以下方程：H PSI = E PSI，我们需要在描述这些术语时非常小心。PSI是一个二维波函数，你可能会想，如何将二维物体表示为一个向量呢？在这里的想法是取得这个二维方块，即量子力学态，然后取第一行，这样就得到了向量的第一个元素，然后取第二行，就是向量的第二个元素，以此类推。也就是说，你把所有的行都叠加到一个向量上，从而得到一个依次相叠加的向量。也就是说，你把一个二维数组的值转换成了一个一维数组的值。所以，你可以这样做，但是你必须非常小心地处理这里的二阶导数。这就是我在这个方程中使用的拉普拉斯符号。同时，在这个方程中，我乘以m和delta x的平方。所以，在此方程中，delta x是我实际使用的间距，然后我把它变成了二阶导数的计算。这个方程中的delta x对我们计算上两点有帮助。在这里，定性地研究这个问题，结果不尽如人意，但是可以更好地研究能量的简并性，它为我们展示了这些能量态是什么样子的，以及在某个位置上的分布情况。而这只是娱乐性质，我们并不试图获得精确度。对于解决这类势能时，有更复杂、更先进的方法，它们使用逼近方法，并考虑势能的形式等因素。本课程是对于简单的三维薛定谔方程求解的一种直接方法。发布后，我将在GitHub上提供代码链接，你可以将不同的势函数加入代码，并进行一些有趣的实验。我很感兴趣，如果有人尝试输入类似氦原子的势能，其中两个质子的间距是一个自定义参数，然后运行代码，并分享一些有趣的截图。话虽如此，感谢你观看！我希望你对薛定谔方程求解在Python中的应用有个初步的了解。